حرکت نوسانی ساده و حرکت دایره‌ای یکنواخت

حرکت نوسانی ساده (SHM) و حرکت دایره‌ای یکنواخت (UCM) در فیزیک

حرکت نوسانی ساده (SHM) و حرکت دایره‌ای یکنواخت (UCM) دو مفهوم مهم و مرتبط در فیزیک هستند. درک این حرکات نه تنها به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا زیبایی جهان فیزیکی را درک کنند، بلکه پایه‌ای برای شاخه‌های مختلف فیزیک، از جمله نظریه امواج، سیستم‌های نوسانی و حتی مکانیک کوانتومی محسوب می‌شود. در این مقاله، هر دو حرکت نوسانی ساده و دایره‌ای یکنواخت را به تفصیل بررسی می‌کنیم، از تعاریف پایه‌ای شروع کرده و به اصول و فرمول‌های کلیدی پرداخته و سپس مثال‌های روشنگر ارائه می‌دهیم. در پایان این مقاله، شما درک جامعی از این دو نوع حرکت و ارتباط آن‌ها با یکدیگر خواهید داشت.

حرکت نوسانی ساده (SHM) چیست؟

حرکت نوسانی ساده (SHM) نوعی حرکت دوره‌ای است که در آن نیروی بازگرداننده مستقیماً متناسب با جابجایی از نقطه تعادل بوده و در جهت مخالف جابجایی عمل می‌کند. به زبان ساده‌تر، SHM زمانی اتفاق می‌افتد که یک جسم به صورت منظم به جلو و عقب در اطراف یک نقطه مرکزی (نقطه تعادل) با فرکانس و دامنه ثابت نوسان می‌کند.

ویژگی های کلیدی حرکت نوسانی ساده:

حرکت دوره‌ای: حرکت پس از فواصل زمانی منظم که به آن دوره ( $T$ ) می‌گویند، تکرار می‌شود.

نیروی بازگرداننده: نیرویی که مسئول حرکت است همیشه به سمت نقطه تعادل هدایت می‌شود و با جابجایی متناسب است. این نیرو به صورت زیر بیان می‌شود:

$F = - k x$

که در آن $k$ ثابت فنر (یا سختی فنر) و $x$ جابجایی از نقطه تعادل است.

رفتار سینوسی: حرکت نوسانی ساده از یک الگوی سینوسی پیروی می‌کند. موقعیت، سرعت و شتاب به عنوان توابع زمانی می‌توانند با استفاده از توابع سینوس و کسینوس نمایش داده شوند.

فرمول های SHM:

موقعیت جسمی که حرکت نوسانی ساده دارد، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$

که در آن:

$A$ دامنه (حداکثر جابجایی)،
$\omega$ فرکانس زاویه‌ای،
$t$ زمان،
$\phi$ ثابت فاز است.

سرعت و شتاب جسم به شکل زیر به دست می‌آیند:

$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi)$

$a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi)$

مثال هایی از SHM:

سیستم جرم-فنر: جرمی که به فنر متصل است، در صورتی که از نقطه تعادل خود جابجا شود، به صورت SHM حرکت می‌کند.

آونگ: آونگ با زاویه کوچک، SHM را نشان می‌دهد که در آن نیروی بازگرداننده توسط تنش نخ و جاذبه تأمین می‌شود.

حرکت دایره‌ای یکنواخت (UCM) چیست؟

حرکت دایره‌ای یکنواخت (UCM) به حرکت یک جسم در مسیر دایره‌ای با سرعت ثابت گفته می‌شود. اگرچه سرعت ثابت است، ولی جهت سرعت جسم به دلیل تغییر دائمی جهت، تغییر می‌کند. این تغییر در سرعت باعث می‌شود که جسم شتاب مرکزگرا را تجربه کند که به سمت مرکز دایره هدایت می‌شود.

ویژگی‌های کلیدی UCM:

سرعت ثابت، تغییر جهت سرعت: در حالی که مقدار سرعت (تندی) ثابت می‌ماند، جهت آن به طور مداوم تغییر می‌کند.

شتاب مرکزگرا: شتاب به سمت مرکز دایره هدایت می‌شود و مقدار آن از رابطه زیر به دست می‌آید:

$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

که در آن $v$ سرعت، $r$ شعاع مسیر دایره‌ای و $\omega$ سرعت زاویه‌ای است.

سرعت زاویه‌ای: سرعت زاویه‌ای $\omega$ به عنوان نرخ تغییر زاویه نسبت به زمان تعریف می‌شود:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

که $T$ دوره حرکت است.

فرمول‌های UCM:

موقعیت جسم در UCM در هر زمان $t$ به صورت زیر بیان می‌شود:

$\theta(t) = \omega t + \phi$

که در آن $\theta(t)$ موقعیت زاویه‌ای، $\omega$ سرعت زاویه‌ای و $\phi$ موقعیت اولیه زاویه‌ای است.

ارتباط بین SHM و UCM:

یکی از جالب‌ترین و آموزنده‌ترین روابط در فیزیک، ارتباط بین حرکت نوسانی ساده و حرکت دایره‌ای یکنواخت است. حرکت نوسانی ساده را می‌توان به عنوان تصویر حرکت دایره‌ای یکنواخت بر روی قطر دایره تصور کرد. به عبارت دیگر، اگر یک جسم در مسیر دایره‌ای حرکت کند و سایه آن را بر روی یک خط افقی (قطر دایره) مشاهده کنیم، آن سایه حرکت نوسانی ساده را نشان می‌دهد.

تجسم ارتباط:

یک ذره را در نظر بگیرید که با سرعت زاویه‌ای ثابت در یک مسیر دایره‌ای حرکت می‌کند. تصویر این حرکت بر روی یک خط مستقیم که از مرکز دایره می‌گذرد، مشابه با حرکت نوسانی ساده است. این بدان معناست که تمامی پارامترهای کلیدی UCM — موقعیت، سرعت و شتاب — بر روی پارامترهای معادل در SHM تصویر می‌شوند.

موقعیت: جابجایی افقی جسم در UCM معادل جابجایی در SHM است.
سرعت: سرعت مماسی جسم در UCM به سرعت در SHM ترجمه می‌شود، اما فقط در جهت خط تصویر.
شتاب: شتاب مرکزگرا در UCM معادل با شتاب در SHM در همان خط است.

ارتباط ریاضی:

اگر جسمی در دایره‌ای با شعاع $r$ حرکت کند، موقعیت آن در UCM به صورت زیر بیان می‌شود:

$x_{\text{UCM}}(t) = r \cos(\omega t)$

تصویر این موقعیت بر روی یک قطر دایره (معادل با SHM) به شکل زیر است:

$x_{\text{SHM}}(t) = r \cos(\omega t)$

این نشان می‌دهد که حرکت جسم در SHM الگوی سینوسی مشابه با UCM را دنبال می‌کند، اما در یک بعد محدود شده است.

مثال‌هایی از SHM و UCM در زندگی روزمره:

ساعت‌های پاندولی: آونگ نوسانی در ساعت‌های سنتی مثال عالی از SHM است. حرکت نوسانی به حفظ زمان با استفاده از نوسانات دوره‌ای کمک می‌کند.
چرخ و فلک: چرخ و فلک مثالی از UCM است. اگر سایه یکی از کابین‌ها را بر روی یک محور افقی مشاهده کنید، آن سایه به جلو و عقب حرکت می‌کند، که مشابه SHM است.
امواج صوتی: امواج صوتی نوعی از SHM هستند که در آن ذرات هوا به جلو و عقب از نقاط تعادل خود نوسان می‌کنند و تغییرات فشاری ایجاد می‌کنند که به صورت امواج انتشار می‌یابد.
سیستم‌های فنر در خودروها: سیستم تعلیق خودروها به فنرها و کمک‌فنرها متکی است تا شوک را جذب کنند. هنگامی که خودرو از روی دست‌انداز عبور می‌کند، فنرها به صورت SHM منقبض و منبسط می‌شوند تا سواری روان‌تری فراهم کنند.

کاربردهای عملی SHM و UCM:

مهندسی: اصول SHM در طراحی ساعت‌های مکانیکی، لرزه‌نگارها و سازهای موسیقی مانند پیانو و گیتار استفاده می‌شود.
نجوم: مدارهای سیاره‌ای با استفاده از UCM مدل‌سازی می‌شوند و انحرافات آن‌ها با مکانیک مداری بیضوی توضیح داده می‌شود.
پزشکی: فناوری اولتراسوند از امواج صوتی (SHM) برای ایجاد تصاویر از اندام‌های داخلی استفاده می‌کند.