ضرب اسکالر

مفهوم ضرب اسکالر (ضرب نقطه‌ای) دو بردار در فیزیک

در دنیای فیزیک و ریاضیات، بردارها نقش بسیار مهمی در توصیف و تحلیل حرکات و نیروها ایفا می‌کنند. بردارها دارای دو ویژگی اساسی هستند: اندازه و جهت. یکی از عملیات ریاضی مهمی که بین بردارها انجام می‌شود، ضرب اسکالر (Scalar Product) یا ضرب نقطه‌ای (Dot Product) است. در این مقاله، به زبانی ساده و با استفاده از مثال‌های متنوع، مفهوم ضرب اسکالر را به شما آموزش می‌دهیم.

تعریف ضرب اسکالر

ضرب اسکالر دو بردار در واقع حاصل\u002Dضرب اندازه‌های دو بردار و کسینوس زاویه بین آنهاست. فرض کنید دو بردار داریم که با $\vec{a}$ و $\vec{b}$ نشان داده شده‌اند و زاویه بین این دو بردار برابر با $\varphi$ است. ضرب اسکالر این دو بردار به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a b \cos \varphi$

در این فرمول:

$a$ اندازه بردار $\vec{a}$
$b$ اندازه بردار $\vec{b}$
$\varphi$ زاویه بین دو بردار
$\cos \varphi$ کسینوس زاویه بین دو بردار که مقدار آن بسته به زاویه می‌تواند بین $-1$ و $1$ تغییر کند.

ویژگی‌های ضرب اسکالر

نتیجه یک عدد اسکالر است: بر خلاف ضرب برداری که یک بردار نتیجه می‌دهد، ضرب اسکالر دو بردار نتیجه‌ای اسکالر یا عددی می‌دهد.
خاصیت جابه‌جایی (قانون جابجایی): اگر ضرب اسکالر دو بردار را جابه‌جا کنیم، نتیجه تغییری نمی‌کند:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

زاویه‌های خاص: اگر زاویه $\varphi = 0^\circ$ باشد، یعنی دو بردار هم\u002Dجهت باشند، نتیجه برابر است با $a b$ . اگر زاویه $\varphi = 90^\circ$ باشد، یعنی دو بردار عمود بر هم باشند، نتیجه صفر است. این ویژگی در فیزیک بسیار مفید است، به‌ویژه هنگام تحلیل نیروها.

کاربرد ضرب اسکالر در فیزیک

ضرب اسکالر به عنوان یک ابزار ریاضی بسیار پرکاربرد است. یکی از کاربردهای آن در محاسبه کار (Work) است. زمانی که یک نیرو به جسمی وارد می‌شود و جسم در جهت این نیرو جابه‌جا می‌شود، کار انجام‌شده توسط نیرو به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos \varphi$

در اینجا:

$W$ کار انجام‌شده
$\vec{F}$ نیروی واردشده به جسم
$\vec{d}$ جابه‌جایی جسم
$\varphi$ زاویه بین نیرو و جابه‌جایی

مثال: محاسبه کار انجام‌شده توسط نیرو

فرض کنید جسمی با نیروی 50 نیوتن به مسافت 10 متر کشیده می‌شود و زاویه بین جهت نیرو و جابه‌جایی برابر با 30 درجه است. کار انجام‌شده را محاسبه کنید.

$W = F d \cos \varphi = 50 \times 10 \times \cos 30^\circ$

$W = 50 \times 10 \times 0.866 = 433 \text{ ژول}$

سوال: اگر زاویه بین نیرو و جابه‌جایی 90 درجه باشد، کار انجام‌شده چقدر است؟

همانطور که قبلاً اشاره کردیم، اگر زاویه بین نیرو و جابه‌جایی 90 درجه باشد، کار انجام‌شده صفر خواهد بود. زیرا نیرو در جهت جابه‌جایی اثری ندارد.

ضرب اسکالر در نوتیشن واحد-برداری

ضرب اسکالر را می‌توان در نوتیشن واحد-برداری نیز نمایش داد. فرض کنید دو بردار زیر داریم:

$\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}$

$\vec{b} = b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k}$

برای محاسبه ضرب اسکالر این دو بردار، ابتدا هر جزء بردارها را با هم ضرب می‌کنیم و سپس مجموع آن‌ها را به دست می‌آوریم:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

مثال: محاسبه ضرب اسکالر در مختصات دکارتی

فرض کنید دو بردار زیر داریم:

$\vec{a} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 1 \hat{k}$

$\vec{b} = 4 \hat{i} + 1 \hat{j} + 5 \hat{k}$

ضرب اسکالر این دو بردار به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \times 4) + (3 \times 1) + (1 \times 5)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 + 3 + 5 = 16$

سوال: اگر یکی از بردارها برابر صفر باشد، ضرب اسکالر آن دو بردار چقدر است؟

جواب ساده است. اگر یکی از بردارها برابر صفر باشد، ضرب اسکالر برابر صفر خواهد بود. زیرا هر عددی ضرب در صفر، نتیجه‌اش صفر است.

جمع‌بندی

ضرب اسکالر یکی از ابزارهای مهم و مفید در تحلیل فیزیکی پدیده‌هاست. این مفهوم نه تنها در محاسبات ریاضی کاربرد دارد، بلکه در فیزیک نیز به عنوان روشی برای اندازه‌گیری کار، نیرو و جابه‌جایی استفاده می‌شود. ضرب اسکالر به ما این امکان را می‌دهد که بتوانیم از زاویه بین دو بردار برای محاسبه مقادیر فیزیکی استفاده کنیم.

درک دقیق این مفهوم به دانش‌آموزان و دانشجویان کمک می‌کند تا تحلیل بهتری از مسائل فیزیکی داشته باشند و بتوانند نیروها، جابه‌جایی‌ها و کار انجام‌شده توسط نیروها را به‌درستی محاسبه کنند.

سوالات تمرینی:

دو بردار $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j}$ و $\vec{b} = 4\hat{i} - 1\hat{j}$ را در نظر بگیرید. ضرب اسکالر این دو بردار را محاسبه کنید.
اگر زاویه بین دو بردار 60 درجه و اندازه‌های آنها برابر با 5 و 7 باشد، ضرب اسکالر آنها چقدر خواهد بود؟
فرض کنید نیرویی به اندازه 20 نیوتن به جسمی وارد شود و جسم به مسافت 15 متر در جهت این نیرو حرکت کند. کار انجام\u200cشده توسط نیرو را محاسبه کنید.

این سوالات به شما کمک می‌کنند تا با استفاده از مفاهیم توضیح\u200cداده\u200cشده در این مقاله، درک بهتری از ضرب اسکالر داشته باشید.