اتم هیدروژن

اتم هیدروژن: مدل بور و اصول مکانیک کوانتومی

اتم هیدروژن یکی از پایه‌ای‌ترین مفاهیم در فیزیک اتمی و کوانتوم است که کمک زیادی به درک ما از ساختار اتم‌ها و اصول تابش نور کرده است. نظریه بور در اوایل قرن بیستم برای توضیح انرژی‌های اتم هیدروژن مطرح شد و اگرچه موفقیت‌هایی داشت، اما بعدها با مکانیک کوانتومی دقیق‌تر توضیح داده شد. در این مقاله، به بررسی مدل بور و نقاط ضعف آن، و همچنین مکانیک کوانتومی و نقش آن در توضیح ساختار اتم هیدروژن خواهیم پرداخت.

مدل بور اتم هیدروژن

مقدمه‌ای بر مدل بور : در سال 1913، نیلز بور فیزیکدان دانمارکی، مدل جدیدی برای توصیف ساختار اتم هیدروژن پیشنهاد کرد. این مدل مبتنی بر ایده‌های سیاره‌ای است؛ به این معنا که الکترون در مدارهای دایره‌ای به دور پروتون، که هسته اتم هیدروژن است، حرکت می‌کند. این مدل به ویژه برای توضیح طیف‌های تابش و جذب نور توسط اتم هیدروژن موفق بود.

فرضیات مدل بور

بور سه فرض اصلی برای مدل خود مطرح کرد:

الکترون‌ها در مدارهایی به دور پروتون حرکت می‌کنند که دارای انرژی‌های مشخصی هستند.
تغییر انرژی تنها زمانی رخ می‌دهد که الکترون از یک مدار به مدار دیگر «بجهد». این تغییر با جذب یا تابش یک فوتون همراه است.
مقدار گشتاور زاویه‌ای الکترون در این مدارها به صورت گسسته و با معادله زیر تعیین می‌شود:

$L = n\hbar$

در اینجا:

$L$ گشتاور زاویه‌ای الکترون است.
$\hbar$ ثابت پلانک کاهش یافته است.
$n$ عدد کوانتومی است که مقادیر 1، 2، 3 و … را می‌گیرد.

انرژی الکترون در مدل بور

یکی از موفقیت‌های بزرگ مدل بور در توضیح انرژی‌های الکترون بود. بور توانست رابطه‌ای برای انرژی الکترون در مدارهای مختلف به دست آورد:

$E_n = - \frac{13.60 \, \text{eV}}{n^2}$

که در آن:

$E_n$ انرژی الکترون در مدار $n$ است.
$\text{eV}$ الکترون ولت واحد اندازه‌گیری انرژی است.
$n$ عدد کوانتومی اصلی است.
این رابطه نشان می‌دهد که انرژی الکترون در هر مدار با افزایش $n$ کاهش می‌یابد، و هنگامی که الکترون به مدارهای بالاتر (یعنی مدارهای دورتر از هسته) می‌رود، انرژی کمتری دارد.

مثال: محاسبه انرژی الکترون در مدار اول

برای مثال، اگر $n = 1$ باشد، انرژی الکترون در مدار اول برابر خواهد بود با:

$E_1 = -\frac{13.60 \, eV}{1^2} = -13.60 \, eV$

این نشان می‌دهد که الکترون در مدار اول انرژی -13.60 الکترون ولت دارد. اگر الکترون به مدار دوم بجهد ( $n = 2$ )، انرژی آن خواهد بود:

$E_2 = -\frac{13.60 \, eV}{2^2} = -3.40 \, eV$

بنابراین، اختلاف انرژی بین این دو مدار برابر خواهد بود با:

$\Delta E = E_2 - E_1 = -3.40 \, eV - (-13.60 \, eV) = 10.20 \, eV$

این انرژی مربوط به تابش یا جذب یک فوتون با انرژی 10.20 الکترون ولت است.

نقاط ضعف مدل بور

با وجود موفقیت‌هایی که مدل بور در توضیح انرژی‌ها و طیف‌های تابش اتم هیدروژن داشت، اما این مدل در بسیاری از جنبه‌ها ناکافی بود:

مدل بور تنها برای اتم هیدروژن کاربرد داشت و برای عناصر دیگر ناتوان بود.
فرضیه‌های بور، به خصوص در مورد گشتاور زاویه‌ای، در تضاد با نتایج مکانیک کوانتومی بود.
مدل بور نتوانست رفتار دقیق الکترون در مدارها را توضیح دهد، چرا که به جای حرکت دایره‌ای کلاسیک، الکترون‌ها به صورت ابرهای احتمال کوانتومی در اطراف هسته پراکنده‌اند.

مکانیک کوانتومی: اصلاح مدل بور

معادله شرودینگر و اتم هیدروژن

با معرفی مکانیک کوانتومی و به خصوص معادله شرودینگر، درک ما از اتم‌ها بسیار دقیق‌تر شد. معادله شرودینگر می‌تواند وضعیت موج الکترون را به عنوان تابعی از مکان و زمان توصیف کند. با حل این معادله برای اتم هیدروژن، مقدار انرژی‌های گسسته (کوانتیزه) الکترون‌ها به درستی به دست می‌آید.

انرژی‌های کوانتومی در اتم هیدروژن همچنان با رابطه زیر تعیین می‌شوند:

$E_n = -\frac{13.60 \, \text{eV}}{n^2}$

اما مدل مکانیک کوانتومی توضیح دقیق تری از رفتار الکترون در فضا ارائه می دهد.

گشتاور زاویه‌ای در مکانیک کوانتومی

در مدل بور، گشتاور زاویه‌ای الکترون به صورت $L = n\hbar$ فرض شده بود، اما در مکانیک کوانتومی، مقدار صحیح گشتاور زاویه‌ای توسط معادله‌های دقیق‌تری به دست می‌آید که برای هر عدد کوانتومی $n$ مقادیر مختلفی را ارائه می‌دهد.

تابع احتمال شعاعی

یکی از مفاهیم کلیدی مکانیک کوانتومی در توصیف اتم هیدروژن، تابع احتمال شعاعی $P(r)$ است. این تابع بیان می‌کند که احتمال یافتن الکترون در فاصله‌ای مشخص از هسته چگونه توزیع شده است. تابع احتمال شعاعی به این معناست که ما نمی‌توانیم مکان دقیق الکترون را بدانیم، بلکه فقط می‌توانیم احتمال حضور آن در محدوده‌ای از فضا را محاسبه کنیم.

فرمول احتمال شعاعی به این صورت است:

$\text{(probability of detection)} = \int_{r_1}^{r_2} P(r) \, dr$

در اینجا، احتمال یافتن الکترون بین دو فاصله شعاعی $r_1$ و $r_2$ محاسبه می‌شود.

مثال: احتمال یافتن الکترون در نزدیکی هسته

برای مثال، اگر بخواهیم احتمال یافتن الکترون در فاصله‌ای نزدیک به هسته (بین $r_1$ و $r_2$ ) را محاسبه کنیم، باید تابع $P(r)$ را بین این دو شعاع انتگرال‌گیری کنیم. این تابع احتمال توزیع الکترون در فضا را نشان می‌دهد و به ما کمک می‌کند بفهمیم الکترون بیشتر در چه مناطقی از فضا یافت می‌شود.

طیف‌های تابش و جذب اتم هیدروژن

یکی از نکات جالب در مورد اتم هیدروژن این است که می‌تواند نور با طول‌موج‌های خاصی را جذب یا تابش کند. این طول‌موج‌ها به تغییرات انرژی الکترون بین مدارهای مختلف مربوط هستند. رابطه‌ای که طول‌موج‌های جذب یا تابش را توضیح می‌دهد به صورت زیر است:

$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{\text{low}}^2} - \frac{1}{n_{\text{high}}^2} \right)$

در اینجا:

$\lambda$ طول‌موج نور است.

$R$ ثابت ریدبرگ است که مقدار آن برابر است با $1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ .

$n_{\text{low}}$ عدد کوانتومی مدار پایین‌تر است.

$n_{\text{high}}$ عدد کوانتومی مدار بالاتر است.

مثال: محاسبه طول‌موج در یک انتقال

برای مثال، اگر الکترون از مدار دوم ( $n_{\text{high}} = 2$ ) به مدار اول ( $n_{\text{low}} = 1$ ) جابه‌جا شود، طول‌موج نوری که تابش می‌شود به این صورت محاسبه می‌شود:

$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$

با جایگذاری مقدار $R$ و انجام محاسبات، می‌توان طول‌موج را به دست آورد.

چرا مدل بور تنها برای اتم هیدروژن دقیق است و برای عناصر پیچیده‌تر ناتوان است؟