فرم زاویه ای قانون دوم نیوتن

قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای: مفهوم، فرمول‌ها و مثال‌ها

قانون دوم نیوتون در فرم خطی یکی از اصول بنیادی فیزیک است که با بیان «نیرو برابر است با جرم ضرب در شتاب» به خوبی شناخته می‌شود. با این حال، وقتی با پدیده‌های چرخشی و دورانی سر و کار داریم، این قانون نیاز به یک تفسیر و تغییر دارد که به عنوان قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای یا معادل چرخشی قانون دوم نیوتون شناخته می‌شود. این قانون چرخشی به ما کمک می‌کند تا چگونگی حرکت دورانی اجسام تحت تأثیر گشتاور را بفهمیم.

در این مقاله، به بررسی مفهوم، فرمول‌ها و کاربردهای قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای پرداخته و با استفاده از مثال‌های متنوع، موضوع را به‌صورت ساده و قابل‌فهم توضیح می‌دهیم.

تعریف قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای

قانون دوم نیوتون در فرم خطی بیان می‌کند که اگر نیرویی خالص بر روی جسمی اعمال شود، جسم با شتابی در جهت آن نیرو حرکت خواهد کرد که مقدار شتاب بستگی به جرم جسم و نیروی اعمالی دارد. این رابطه به صورت ریاضی به شکل زیر نوشته می‌شود:

$F_{net} = ma$

در فرم زاویه‌ای، این قانون به جای نیرو از گشتاور و به جای شتاب خطی از شتاب زاویه‌ای استفاده می‌کند. فرمول قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای به شکل زیر است:

$\tau_{net} = I\alpha$

در این رابطه:

$\tau_{net}$ گشتاور خالص اعمالی بر جسم است (بر حسب نیوتون‌متر).
$I$ ممان اینرسی یا اینرسی دورانی جسم است که نشان‌دهنده توزیع جرم جسم حول محور چرخش است (بر حسب کیلوگرم متر مربع).
$\alpha$ شتاب زاویه‌ای جسم است (بر حسب رادیان بر ثانیه مربع).

ارتباط بین گشتاور و نیروی خطی

قبل از ادامه، لازم است به این سوال پاسخ دهیم: گشتاور چیست و چگونه به نیرو مرتبط است؟ گشتاور، معیاری از “توانایی چرخاندن” جسم است و از ضرب نیرو در فاصله‌ای که از محور چرخش اعمال می‌شود، به‌دست می‌آید:

$\tau = r \times F$

که در آن $r$ فاصله از محور چرخش و $F$ نیروی وارد شده است. به همین دلیل، نیروهای اعمالی نزدیک به محور چرخش کمتر در ایجاد چرخش مؤثر هستند، در حالی که نیروهای دورتر گشتاور بیشتری تولید می‌کنند.

اینرسی دورانی یا ممان اینرسی چیست؟

ممان اینرسی، معادل زاویه‌ای جرم است. همان‌طور که جرم جسم مشخص می‌کند که چه مقدار نیرو برای تغییر سرعت آن نیاز است، ممان اینرسی مشخص می‌کند که چه مقدار گشتاور برای تغییر سرعت زاویه‌ای جسم لازم است. ممان اینرسی به چگونگی توزیع جرم جسم نسبت به محور چرخش بستگی دارد. به عنوان مثال، چرخاندن یک میله بلند زمانی که جرم آن نزدیک به مرکز آن متمرکز باشد، آسان‌تر از زمانی است که جرم در انتهای میله متمرکز باشد.

شتاب زاویه‌ای چیست؟

شتاب زاویه‌ای، سرعت تغییر سرعت زاویه‌ای است. به عبارت ساده‌تر، اگر یک جسم در حال چرخش است و سرعت چرخش آن افزایش یا کاهش یابد، شتاب زاویه‌ای دارد. واحد شتاب زاویه‌ای رادیان بر ثانیه مربع است.

مفهوم قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای با یک مثال

فرض کنید می‌خواهیم یک درب چوبی را که بر روی لولا نصب شده است، بچرخانیم. اگر نیرویی را در نزدیکی لولا وارد کنید، درب به سختی می‌چرخد، اما اگر همان نیرو را در نزدیکی لبه درب وارد کنید، به راحتی چرخانده می‌شود. این مثال ساده نشان می‌دهد که نه تنها مقدار نیرو، بلکه مکانی که نیرو اعمال می‌شود نیز در میزان چرخش درب تأثیر دارد. در اینجا، رابطه بین نیرو و فاصله از لولا را می‌توان به‌عنوان گشتاور در نظر گرفت.

حال فرض کنید وزنه‌ای به انتهای یک میله بسته شده باشد و بخواهیم آن را حول محوری که از وسط میله می‌گذرد، بچرخانیم. ممان اینرسی این وزنه که نشان‌دهنده مقاومت آن در برابر چرخش است، بستگی به فاصله آن از محور چرخش دارد. اگر وزنه را به وسط میله نزدیک کنیم، چرخاندن آن آسان‌تر خواهد شد، اما اگر آن را به انتهای میله ببریم، چرخاندن آن بسیار سخت‌تر خواهد شد.

فرمول کامل قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای

همانطور که در بخش قبل دیدیم، قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای به این صورت است:

$\tau_{net} = I \alpha$

اما هر یک از این مولفه‌ها به چه عواملی بستگی دارند؟

گشتاور خالص ( $\tau_{net}$ ): مجموع تمام گشتاورهایی است که بر روی جسم اعمال می‌شود. گشتاور می‌تواند از چندین نیرو ناشی شود و جهت گشتاور نیز مهم است (گشتاور ساعتگرد یا پادساعتگرد).
ممان اینرسی ( $I$ ): بستگی به جرم جسم و چگونگی توزیع آن نسبت به محور چرخش دارد. ممان اینرسی برای اجسام مختلف، فرمول های خاص خود را دارد.
شتاب زاویه‌ای ( $\alpha$ ): میزان تغییر سرعت زاویه‌ای جسم است و نشان می‌دهد که چرخش جسم با چه سرعتی تغییر می‌کند.
برای اینکه بهتر مفهوم این فرمول را درک کنیم، بیایید چند مثال کاربردی را بررسی کنیم.

مثال‌های عملی از قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای

مثال 1: چرخاندن یک درب سنگین

فرض کنید شما یک درب سنگین را باز می‌کنید و می‌خواهید میزان گشتاور مورد نیاز را محاسبه کنید. اگر درب جرم مشخصی داشته باشد و شما نیرویی در فاصله معینی از لولا وارد کنید، می‌توانید با استفاده از رابطه گشتاور:

$\tau = r \times F$

و سپس با استفاده از قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای

$\tau_{net} = I \alpha$

، شتاب زاویه‌ای درب را محاسبه کنید.

مثال 2: چرخش سیاره‌ها به دور خورشید

اگر بخواهیم حرکت دورانی سیاره‌ها به دور خورشید را با استفاده از این قانون توصیف کنیم، باید ممان اینرسی و گشتاور حاصل از نیروی گرانشی را محاسبه کنیم. در این حالت، نیروهای گرانشی می‌توانند به عنوان گشتاورهای چرخشی در نظر گرفته شوند.

مثال 3: چرخاندن یک فرفره

فرض کنید شما یک فرفره را با دست به چرخش درمی‌آورید. نیروی اعمالی از طریق انگشتان شما باعث ایجاد گشتاور شده و شتاب زاویه‌ای فرفره را تغییر می‌دهد. این یک مثال ساده از کاربرد عملی این قانون در زندگی روزمره است.

چگونه این مفهوم را درک کنیم؟

برای اینکه درک بهتری از این مفاهیم داشته باشید، چند سوال را مطرح می‌کنیم تا شما را به تفکر واداریم:

چگونه می‌توانیم ممان اینرسی یک جسم را بدون داشتن فرمول‌های ریاضی محاسبه کنیم؟
اگر یک نیروی بزرگ به جسمی در نقطه‌ای نزدیک به محور چرخش وارد شود، چگونه این نیرو می‌تواند گشتاور تولید کند؟
چرا چرخاندن یک جسم بزرگتر (مثل یک درب سنگین) نسبت به یک جسم کوچکتر (مثل یک درب سبک) سخت‌تر است؟

جمع‌بندی

قانون دوم نیوتون در فرم زاویه‌ای، یکی از اصول اساسی حرکت دورانی است که به ما کمک می‌کند بفهمیم چگونه اجسام تحت تأثیر گشتاور شروع به چرخش می‌کنند. این قانون به‌وضوح نشان می‌دهد که چرخش یک جسم نه تنها به مقدار نیرو بستگی دارد، بلکه به محل اعمال نیرو و همچنین توزیع جرم جسم نسبت به محور چرخش نیز وابسته است.

با درک کامل این قانون، می‌توانیم به سادگی پدیده‌های مختلف چرخشی را تحلیل کنیم؛ از چرخش یک فرفره کوچک گرفته تا حرکت سیارات در کهکشان. امیدواریم این مقاله توانسته باشد مفاهیم پیچیده فیزیکی را به زبانی ساده برای شما روشن کند و شما را به فکر کردن و بررسی بیشتر در این زمینه تشویق کند.