معادلات سینماتیکی برای شتاب زاویه‌ای ثابت
حرکت دورانی یکی از مهم‌ترین مباحث در فیزیک است که در زندگی روزمره نیز کاربرد فراوانی دارد. از چرخش زمین به دور خود تا حرکت چرخ‌های خودروها و بسیاری از اجسام دیگر، همگی به نوعی با حرکت دورانی درگیر هستند. یکی از مفاهیم کلیدی در مطالعه این نوع حرکت، شتاب زاویه‌ای ثابت است. در این مقاله، معادلات سینماتیکی مربوط به این نوع حرکت را بررسی خواهیم کرد و به زبان ساده توضیح خواهیم داد که چگونه می‌توان این معادلات را در مسائل مختلف فیزیکی به کار برد.
مفهوم حرکت دورانی
قبل از ورود به بحث معادلات سینماتیکی، بهتر است ابتدا مفهوم حرکت دورانی را تعریف کنیم. در حرکت دورانی، یک جسم حول یک محور ثابت به چرخش درمی‌آید. برای مثال، چرخش یک فن در حالت خاموش و روشن شدن آن نمونه‌ای از این حرکت است. در این نوع حرکت، هر نقطه از جسم مسیری دایره‌ای را طی می‌کند و زوایای متفاوتی را نسبت به مرکز این مسیر تشکیل می‌دهد.
سرعت زاویه‌ای و شتاب زاویه‌ای
دو مفهوم اساسی در حرکت دورانی عبارتند از:
- سرعت زاویه‌ای: سرعت چرخش جسم حول محور دوران که با نماد ω نشان داده می‌شود و واحد آن رادیان بر ثانیه است.
- شتاب زاویه‌ای: تغییر سرعت زاویه‌ای در طول زمان است که با نماد α نشان داده می‌شود و واحد آن رادیان بر ثانیه به توان دو است.
در حالت شتاب زاویه‌ای ثابت، شتاب زاویه‌ای در طول زمان تغییر نمی‌کند و همین موضوع باعث سادگی محاسبات می‌شود.
معرفی معادلات سینماتیکی برای شتاب زاویه‌ای ثابت
در حرکت خطی، وقتی با شتاب ثابت سر و کار داریم، از معادلات سینماتیکی استفاده می‌کنیم که بین سرعت، شتاب، جابه‌جایی و زمان رابطه برقرار می‌کنند. همین نوع معادلات را می‌توان برای حرکت دورانی نیز به کار برد، با این تفاوت که کمیت‌های خطی مانند سرعت و شتاب جای خود را به کمیت‌های زاویه‌ای مانند سرعت زاویه‌ای و شتاب زاویه‌ای می‌دهند. در جدول زیر معادلات سینماتیکی برای شتاب زاویه‌ای ثابت آورده شده است:
![\[\omega = \omega_0 + \alpha t\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c2cff32e486e441b94e0adb6bee3362_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\theta - \theta_0 = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d938c01394e07d5527681d9d4e8efe7c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha (\theta - \theta_0)\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98234f1afb3f03c4204b36f9c9f3a3c8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\theta - \theta_0 = \frac{1}{2} (\omega_0 + \omega) t\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62b929b7181567a5bf42559645faceac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\theta - \theta_0 = \omega t - \frac{1}{2} \alpha t^2\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e71ac96467496f2aa021fbc4b3c1c8f3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
در این معادلات:
سرعت زاویه‌ای نهایی است.
سرعت زاویه‌ای اولیه است.
شتاب زاویه‌ای ثابت است.
زمان است.
تغییر زاویه است (یا جابه‌جایی زاویه‌ای).
تحلیل معادلات
بیایید هر یک از این معادلات را با جزئیات بیشتر بررسی کنیم.
1. معادله اول: رابطه بین سرعت زاویه‌ای و زمان
این معادله نشان می‌دهد که چگونه سرعت زاویه‌ای یک جسم در طول زمان با شتاب زاویه‌ای ثابت تغییر می‌کند. اگر جسمی در ابتدا سرعت زاویه‌ای داشته باشد و با شتاب زاویه‌ای شروع به چرخش کند، سرعت زاویه‌ای آن پس از گذشت زمان به خواهد رسید.
مثال:
فرض کنید یک دیسک با سرعت زاویه‌ای اولیه 5 رادیان بر ثانیه شروع به چرخش می‌کند و شتاب زاویه‌ای آن 2 رادیان بر ثانیه به توان دو است. پس از 3 ثانیه، سرعت زاویه‌ای نهایی چقدر خواهد بود؟
![\[\omega = 5 + 2 \times 3 = 11 \text{ رادیان بر ثانیه}\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b3b66583a707c7d1321a27daeb26b84_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2. معادله دوم: رابطه بین تغییر زاویه، زمان و شتاب زاویه‌ای
این معادله رابطه بین تغییر زاویه (جابه‌جایی زاویه‌ای)، سرعت زاویه‌ای اولیه، شتاب زاویه‌ای و زمان را بیان می‌کند. به عبارت دیگر، نشان می‌دهد که یک جسم چه زاویه‌ای را در طول زمان طی می‌کند.
مثال:
اگر یک جسم با سرعت زاویه‌ای اولیه 4 رادیان بر ثانیه و شتاب زاویه‌ای 1 رادیان بر ثانیه به توان دو شروع به چرخش کند، پس از 6 ثانیه چه زاویه‌ای را طی خواهد کرد؟
![\[\theta - \theta_0 = 4 \times 6 + \frac{1}{2} \times 1 \times 6^2 = 24 + 18 = 42 \text{ رادیان}\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-365091b6dcde3df2fee699c9eab5adad_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3. معادله سوم: رابطه بین سرعت زاویه‌ای و جابه‌جایی زاویه‌ای
این معادله نشان می‌دهد که چگونه سرعت زاویه‌ای یک جسم با جابه‌جایی زاویه‌ای آن و شتاب زاویه‌ای مرتبط است. این معادله به خصوص زمانی کاربرد دارد که زمان معلوم نباشد و بخواهیم سرعت زاویه‌ای نهایی را با استفاده از جابه‌جایی زاویه‌ای محاسبه کنیم.
مثال:
یک دیسک با سرعت زاویه‌ای اولیه 6 رادیان بر ثانیه و شتاب زاویه‌ای 3 رادیان بر ثانیه به توان دو می‌چرخد. اگر زاویه چرخش دیسک 10 رادیان باشد، سرعت زاویه‌ای نهایی چقدر است؟
![\[\omega^2 = 6^2 + 2 \times 3 \times 10 = 36 + 60 = 96\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0552bd5198d82db61812bda14cf6a7ee_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\omega = \sqrt{96} \approx 9.8 \text{ رادیان بر ثانیه}\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0a7f2b226f867826b0abd6fb4f90f46_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
4. معادله چهارم: میانگین سرعت زاویه‌ای
این معادله رابطه‌ای بین جابه‌جایی زاویه‌ای و میانگین سرعت زاویه‌ای در طول زمان است. این فرمول به خصوص زمانی مفید است که هم سرعت زاویه‌ای اولیه و هم سرعت زاویه‌ای نهایی معلوم باشد.
مثال:
فرض کنید یک جسم با سرعت زاویه‌ای اولیه 3 رادیان بر ثانیه و سرعت زاویه‌ای نهایی 9 رادیان بر ثانیه به مدت 5 ثانیه بچرخد. جابه‌جایی زاویه‌ای آن چقدر است؟
![\[\theta - \theta_0 = \frac{1}{2} (3 + 9) \times 5 = 6 \times 5 = 30 \text{ رادیان}\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a276a52a3785e62a41ee07f440510c23_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
5. معادله پنجم: حرکت با سرعت اولیه و کاهش سرعت
این معادله شبیه به معادله دوم است، اما به جای شتاب مثبت، کاهش شتاب (یا توقف) را مد نظر قرار می‌دهد. اگر جسمی در ابتدا با سرعت معینی بچرخد و سپس شتاب زاویه‌ای آن کاهش یابد، این معادله جابه‌جایی زاویه‌ای آن را در طول زمان محاسبه می‌کند.
مثال:
فرض کنید یک جسم با سرعت زاویه‌ای اولیه 8 رادیان بر ثانیه شروع به چرخش کند و شتاب زاویه‌ای آن -2 رادیان بر ثانیه به توان دو باشد. پس از 4 ثانیه، جابه‌جایی زاویه‌ای چقدر است؟
![\[\theta - \theta_0 = 8 \times 4 - \frac{1}{2} \times 2 \times 4^2 = 32 - 16 = 16 \text{ رادیان}\]](https://mahmouddehghanpour.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a0496f51078742ae45cffd7322679ec4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
اهمیت معادلات سینماتیکی در زندگی روزمره
معادلات سینماتیکی تنها در آزمایشگاه‌های فیزیک کاربرد ندارند؛ بلکه در بسیاری از پدیده‌های روزمره نیز قابل استفاده هستند. برای مثال، مهندسان مکانیک از این معادلات برای طراحی چرخ‌دنده‌ها و موتورهای خودرو استفاده می‌کنند. یا در ورزش‌هایی مانند ژیمناستیک که حرکات دورانی و چرخشی وجود دارد، این معادلات می‌توانند به تحلیل و بهبود عملکرد ورزشکاران کمک کنند.
