شتاب زاویه‌ ای

شتاب زاویه‌ای (Angular Acceleration) در فیزیک: مفاهیم، فرمول‌ها و مثال‌ها

شتاب زاویه‌ای (Angular Acceleration) یکی از مفاهیم کلیدی در دینامیک دورانی است که در فیزیک به تغییر سرعت زاویه‌ای یک جسم اشاره دارد. در این مقاله، سعی می‌کنیم این مفهوم را به زبان ساده و قابل فهم توضیح دهیم و به کمک مثال‌های مختلف، اصول مربوط به آن را بررسی کنیم.

تعریف شتاب زاویه‌ای (Angular Acceleration)

در ابتدا باید با مفهوم سرعت زاویه‌ای (Angular Velocity) آشنا شویم. زمانی که یک جسم حول یک محور دوران می‌کند، سرعت زاویه‌ای بیانگر میزان تغییر زاویه در واحد زمان است. اگر سرعت زاویه‌ای یک جسم تغییر کند، یعنی یا افزایش یابد یا کاهش یابد، این تغییر با استفاده از شتاب زاویه‌ای توصیف می‌شود.

شتاب زاویه‌ای متوسط (Average Angular Acceleration)

شتاب زاویه‌ای متوسط به صورت تغییر سرعت زاویه‌ای در یک بازه زمانی معین تعریف می‌شود. اگر سرعت زاویه‌ای یک جسم از $\omega_1$ به $\omega_2$ در بازه زمانی $\Delta t$ (یعنی از $t_1$ به $t_2$ ) تغییر کند، شتاب زاویه‌ای متوسط با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$\alpha_{\text{avg}} = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t_2 - t_1} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$

شتاب زاویه‌ای لحظه‌ای (Instantaneous Angular Acceleration)

شتاب زاویه‌ای لحظه‌ای نیز مشابه شتاب خطی لحظه‌ای، بیانگر نرخ تغییر سرعت زاویه‌ای در یک لحظه خاص از زمان است. برای این مفهوم از مشتق استفاده می‌کنیم:

$\alpha = \frac{d \omega}{d t}$

این فرمول نشان می‌دهد که شتاب زاویه‌ای لحظه‌ای برابر است با مشتق سرعت زاویه‌ای نسبت به زمان. هر دو نوع شتاب زاویه‌ای متوسط و لحظه‌ای، کمیت‌های برداری هستند، به این معنی که علاوه بر مقدار، دارای جهت نیز می‌باشند.

درک بهتر شتاب زاویه‌ای با مثال‌ها

برای فهم بهتر این مفاهیم، به چند مثال ساده و کاربردی می‌پردازیم.

مثال 1: فن برقی و شتاب زاویه‌ای

فرض کنید فن برقی شما با سرعت اولیه $\omega_1 = 0$ rad/s شروع به چرخش می‌کند و پس از 5 ثانیه به سرعت $\omega_2 = 10$ rad/s می‌رسد. شتاب زاویه‌ای متوسط فن در این بازه زمانی چقدر است؟

ابتدا داده‌های مسأله را داریم:

$\omega_1 = 0$ rad/s
$\omega_2 = 10$ rad/s
$t_1 = 0$ s
$t_2 = 5$ s
از فرمول شتاب زاویه‌ای متوسط استفاده می‌کنیم:

$\alpha_{\text{avg}} = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t_2 - t_1} = \frac{10 - 0}{5 - 0} = \frac{10}{5} = 2 \, \text{rad/s}^2$

این نتیجه نشان می‌دهد که فن با شتاب زاویه‌ای 2 رادیان بر ثانیه مربع شروع به چرخش کرده است.

مثال 2: دوچرخه و تغییر شتاب زاویه‌ای

یک دوچرخه‌سوار را در نظر بگیرید که چرخ دوچرخه‌اش با سرعت اولیه 15 rad/s در حال چرخش است. پس از 4 ثانیه، سرعت زاویه‌ای چرخ به 5 rad/s کاهش می‌یابد. شتاب زاویه‌ای متوسط این چرخ چه مقدار خواهد بود؟

داده‌های مسأله:

$\omega_1 = 15$ rad/s
$\omega_2 = 5$ rad/s
$t_1 = 0$ s
$t_2 = 4$ s
حال با استفاده از فرمول شتاب زاویه‌ای متوسط داریم:

$\alpha_{\text{avg}} = \frac{5 - 15}{4 - 0} = \frac{-10}{4} = -2.5 \, \text{rad/s}^2$

منفی بودن شتاب زاویه‌ای نشان می‌دهد که سرعت زاویه‌ای در حال کاهش است و چرخ دوچرخه در حال کند شدن است.

ارتباط شتاب زاویه‌ای و شتاب خطی

یک نکته مهم در مورد شتاب زاویه‌ای این است که با شتاب خطی در حرکت دورانی رابطه مستقیم دارد. برای درک این موضوع، فرض کنید که یک جسم در حال دوران است. اگر این جسم دارای شعاع $r$ باشد و شتاب زاویه‌ای $\alpha$ را تجربه کند، شتاب خطی $a$ آن برابر است با:

$a = r \alpha$

این رابطه نشان می‌دهد که هرچه شعاع دوران بزرگتر باشد، شتاب خطی نیز بیشتر خواهد بود. به عنوان مثال، یک دیسک چرخان بزرگتر نسبت به یک دیسک کوچک‌تر، برای یک شتاب زاویه‌ای ثابت، شتاب خطی بیشتری خواهد داشت.

شتاب زاویه‌ای و قانون دوم نیوتن برای دوران

در حرکت خطی، قانون دوم نیوتن به ما می‌گوید که نیرو برابر است با جرم ضرب در شتاب:

$F = ma$

. مشابه این مفهوم در حرکت دورانی، قانون دوم نیوتن برای دوران بیان می‌کند که گشتاور ( $\tau$ ) برابر است با اینرسی دورانی ( $I$ ) ضرب در شتاب زاویه‌ای:

$\tau = I \alpha$

در این فرمول:

$\tau$ گشتاور (Torque) است، که میزان نیرو و فاصله از محور دوران را در نظر می‌گیرد.
$I$ اینرسی دورانی (Moment of Inertia) است، که وابسته به جرم و شکل جسم است.
$\alpha$ شتاب زاویه‌ای است.
این رابطه اهمیت زیادی در تحلیل حرکت اجسام چرخان دارد و در بسیاری از مسائل دینامیک دورانی کاربرد دارد.

کاربردهای شتاب زاویه‌ای در زندگی روزمره

مفهوم شتاب زاویه‌ای در بسیاری از جنبه‌های زندگی روزمره ما قابل مشاهده است. چند نمونه کاربردی عبارت‌اند از:

چرخش لاستیک خودرو: هنگام تسریع یا ترمز گرفتن، شتاب زاویه‌ای لاستیک خودرو تغییر می‌کند.
ماشین لباسشویی: در زمان شروع به کار و افزایش سرعت در چرخه شستشو، شتاب زاویه‌ای درام ماشین لباسشویی تغییر می‌کند.
چرخ‌دنده‌های ماشین‌ها: چرخ‌دنده‌های موتورهای مختلف مانند ماشین‌ها یا موتورها نیز با تغییر سرعت چرخش، شتاب زاویه‌ای تجربه می‌کنند.

سؤالاتی برای تفکر بیشتر

فرض کنید یک دیسک با شعاع 2 متر در حال دوران است و شتاب زاویه‌ای 3 rad/s² دارد. شتاب خطی یک نقطه روی لبه دیسک چقدر است؟
یک موتور الکتریکی با شتاب زاویه‌ای 4 rad/s² شروع به کار می‌کند و پس از 10 ثانیه سرعت زاویه‌ای آن به 40 rad/s می‌رسد. سرعت زاویه‌ای اولیه آن چقدر بوده است؟
اگر گشتاور وارد بر یک چرخ برابر با 20 نیوتن‌متر باشد و اینرسی دورانی آن 5 کیلوگرم متر مربع باشد، شتاب زاویه‌ای چرخ چه مقدار خواهد بود؟

نتیجه‌گیری

در این مقاله به بررسی مفهوم شتاب زاویه‌ای، فرمول‌ها و کاربردهای آن پرداختیم. شتاب زاویه‌ای به ما کمک می‌کند تا تغییرات در سرعت زاویه‌ای اجسام چرخان را بررسی کنیم و در بسیاری از جنبه‌های زندگی روزمره و علوم مهندسی کاربرد دارد. با فهمیدن این مفاهیم و حل مسائل مختلف، می‌توانیم دانش خود را درباره حرکت دورانی افزایش دهیم و توانایی تحلیل و درک بهتری از پدیده‌های فیزیکی کسب کنیم.

پیشنهاد به خوانندگان: آیا تاکنون به این فکر کرده‌اید که چگونه شتاب زاویه‌ای در ورزش‌هایی مانند اسکیت یا دوچرخه‌سواری تأثیر می‌گذارد؟ از شما دعوت می‌کنم تا در مورد این پدیده‌ها بیشتر تحقیق کنید و نتایج خود را با دیگران به اشتراک بگذارید!